ПримерыМатериалы / Теория симметрии молекул / ПримерыСтраница 2
C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.
При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем
=е; 
=а; 
=a2; 
=b; 
=c; 
=d.
Тогда таблица примет следующий вид.
Таблица 3
Квадрат Кэли группы S3
|
S3 |
e |
a |
a2 |
b |
c |
d |
|
e |
e |
a |
a2 |
b |
c |
d |
|
a |
a |
a2 |
e |
d |
b |
c |
|
a2 |
a2 |
e |
a |
c |
d |
b |
|
b |
b |
c |
d |
e |
a2 |
e |
|
c |
c |
d |
b |
a |
e |
a2 |
|
d |
d |
b |
c |
a2 |
a |
e |
Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).
Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что 
, i=1, 2, 3.
Найдем элемент 
:
=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.
Далее находим 
:
=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.
При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры 
, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:
C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.
Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).
Таблица 4