C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.

При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем

=е; =а; =a2; =b; =c; =d.

Тогда таблица примет следующий вид.

Таблица 3

Квадрат Кэли группы S3

Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).

Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что , i=1, 2, 3.

Найдем элемент :

=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.

Далее находим :

=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.

При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры , так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:

C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.

Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).

Таблица 4