Определение 7. Алгеброй Боуза – Меснера называется подалгебра алгебры матриц Mn(C), порожденная (0, 1) – матрицами Ai, i=1, 2, …, d, удовлетворяющими следующим условиям:

1) A1=E, где Е – единичная матрица;

2) A1+A2+…+Ad=J, где J – матрица, все элементы которой равны единице;

3) , i¢Î[1, 2, …, d], где - матрица, транспонированная с матрицей Ai;

4) ;

5) .

Если построить матрицы смежности для группы G по указанному выше правилу, то они образуют базис алгебры Боуза–Меснера в соответствии с определением 7.

Если А – алгебра Боуза–Меснера, то из коэффициентов в соотношении можно образовать матрицы порядка d. Рассмотрим алгебру В, порожденную матрицами C1, C2, …, Cd, являющуюся подалгеброй алгебры d´d матриц Md(C). Эта алгебра изоморфна алгебре А Боуза–Меснера. В силу того, что в алгебре изоморфные объекты не различаются, будем называть ее также алгеброй Боуза–Меснера.

Если рассматривать А как векторное пространство, то в А имеется естественный базис, состоящий из матриц Ai, которые по условию 5 определения 7 попарно коммутируют. Кроме того, эти матрицы нормальны (т. е. , где - комплексно-сопряженная и транспонированная с А матрица). Все матрицы Ai можно одновременно диагонализировать с помощью унитарной матрицы S. Столбцы являются общими собственными векторами матриц Ai, образующими базис общих собственных подпространств, а ее диагональные элементы являются собственными значениями матриц Ai, соответствующими общим собственным векторам. Если

, (22)

где diag – диагональная матрица, вне главной диагонали которой стоят нули, то pi(1), pi(2), …, pi(d) – указанные собственные значения. Тогда можно записать

k, i=1, 2, …, d,

где E1+E2+…+Ed=E, Ei2=Ei, EiEj=EjEi=0, i¹j.

Итак, в А появился второй базис, состоящий из идемпотентов Ei, i=1, 2, …, d, который связан с общими собственными векторами матриц Ai, из которых состоят линейно независимые столбцы матриц S.

Определение 8. Квадратная матрица Р порядка d, (j, i)-м элементом которой является pi(j), называется первой собственной матрицей алгебры Боуза–Меснера А. Матрица Q=(gi(j)) такая, что PQ=QP=|G|E, называется второй собственной матрицей Боуза–Меснера.

Возвращаясь к задаче определения характеров неприводимых представлений, сформулируем в приспособленном для наших целей виде теорему, позволяющую обосновать приводимый ниже алгоритм нахождения неприводимых характеров.

Теорема 1. Если G – конечная группа, а Т – ее таблица характеров, А – алгебра Боуза–Меснера классов сопряженных элементов, изоморфная алгебре пересечений В, P=(pi(j)) и Q=(qi(j)) – соответственно первая и вторая собственная матрицы этих алгебр, то таблица характеров определяется как произведение матриц в виде