Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L: . По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vÎV однозначно представим в виде v=w+l, wÎW. lÎL.

Определение 1. Если , так что v=w+l, то отображение , сопоставляющая каждому вектору vÎV его компоненту (проекцию) wÎW, называется проектором пространства V на пространство W. называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.

Очевидно, если wÎW, то (w)=w. Отсюда следует, что обладает следующим замечательным свойством 2=Р.

Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е2=е.

В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы , , ,- идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.

Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:

.

Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования , , …, . Они обладают свойством ==0 при i¹j.

Определение 3. Идемпотенты ei и ej (i¹j) называются ортогональными, если ei ej= ej ei=0. Следовательно, и - ортогональные идемпотенты.

Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что

.

Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.

Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.