Определение 1. Линейной функцией, или линейной формой, в векторном пространстве V над полем вещественных (комплексных) чисел Р называется отображение f векторного пространства V в поле Р, ставящее в соответствие каждому вектору вещественное (комплексное) число, если это отображение удовлетворяет следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y);

2) f(ax)=af(x),

где x, y - произвольные векторы из пространства V, а aÎP.

Если dimV=n, e1, e2, …, en – базис пространства V и x= x1e1+x2e2+…+xnen – произвольный вектор из этого пространства, то

f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en) или

f(x)= a1x1+a2x2+…+anxn, где ai=f(ei), i=1, 2, …, n.

Таким образом, при фиксированном базисе линейная функция представляется линейной формой (формой называется однородный многочлен).

Определение 2. Полулинейной формой или линейной функцией второго рода называется функция f, удовлетворяющая следующим условиям:

1) f(x+y)=f(x)+f(y)

2)

где - число, комплексно-сопряженное с l.

Определение 3. Функция A(x, y) векторов x и y векторного пространства V над полем вещественных чисел называется билинейной функцией или билинейной формой, если при фиксированном x она является линейной функцией от y, а при фиксированном y – линейной функцией от x.

По аналогии с линейной функцией можно показать, что билинейная функция представляется билинейной формой, т. е. выражением вида

, где aik=A(ei, ek).

Поэтому билинейную функцию часто тоже называют билинейной формой.

Если A(x, y)=A(y, x) при любых x и y, билинейная форма A(x, y) называется симметрической.

Определение 4. Функция A(x, x), которая получена из симметрической билинейной формы, если наложить y=x, называется квадратичной формой.

Определение 5. Функция A(x, y) называется полуторалинейной формой векторов x и y комплексного пространства или билинейной формой в комплексном векторном пространстве, если при фиксированном y форма A(x, y) есть линейная форма от x, а при фиксированном x форма A(x, y) есть полученная форма от y.

В комплексном векторном пространстве полуторалинейную функцию можно представить в виде билинейной формы , где aik=A(ei, ek).

Определение 6. Билинейная форма в комплексном пространстве называется эрмитово-симметрической или эрмитовой, если A(x, y)=для всех векторов x и y из этого пространства.

Определение 7. Эрмитовой квадратичной формой называется функция, полученная из эрмитово-симметрической формы A(x, y), если положить в ней y=x. Так как A(x, x)=, то эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.

Определение 8. Квадратичной формой на пространстве V (вещественном или комплексном) называется такое отображение (Р – поле вещественных или комплексных чисел), для которого существует билинейная (полуторалинейная в случае Р=С) форма В(x, y) со свойством A(x)=B(x, x) для любого вектора xÎV.