2.1.1. Всякое физическое состояние квантово-механической системы изображается волновой функцией . Ее аргументами являются все координаты всех частиц системы и время.

2.1.2. Совокупность всех пространственных переменных всех частиц называется конфигурационным пространством системы K. Так, для n частиц

Конфигурационное пространство имеет наглядный геометрический образ только для систем, содержащих не более одной частицы. В остальных случаях – это абстрактное понятие. Каждая переменная задана в пределах своей области определения, которая зависит от характера этой переменной. Очень часто используют не декартовы, а полярные, либо другие, координаты.

2.1.3. Математические свойства волновой функции определяются ее назначением. Являясь функцией состояния, она должна быть:

однозначна

неразрывна

конечна.

Этими свойствами обладают так называемые регулярные функции. Поясним графически смысл этих функций, для чего представим свойства, недопустимые для регулярной функции.

a< х < b

На этом интервале Функция разрывна Функция неограниченна

функция неоднозначна при х = а возрастает при х => а

Рис. 1. Функции, которые по своим свойствам не могут быть использованы в качестве волновых функций состояния квантово-механической системы.

2.1.4. Далее встанет проблема сопоставления физических параметров для состояний как одной системы, так и состояний разных систем. Для этот потребуется стандартизация волновых функций, а, следовательно, их численная калибровка. Это достигается введением условия нормировки волновой функции. Оно имеет истоки в векторной алгебре и в теории вероятностей.

Норма – это одно из названий длины вектора в алгебре. Нормированный вектор имеет единичную норму, то есть его скалярное произведение самого на себя равно единице:

или , (2)

где |а| - модуль вектора. Любой вектор произвольной длины b можно нормировать, умножая на нормировочный множитель

, (2.1)

в результате получим нормированный вектор а, отвечающий условию нормировки (2.1).

Волновая функция, рассматриваемая как абстрактный вектор состояния, должна быть нормирована, т.е. ее скалярное произведение самой на себя равно 1:

Эквивалентная запись условия нормировки имеет вид

(2.2)

2.1.5. Понятию волновой функции до сих пор мы не придавали конкретного физического содержания, принимая ее просто как абстрактный образ состояния. Физическое истолкование волновой функции предложил Макс Борн. Согласно Борну, величину следует рассматривать как вероятность пребывания системы, находящейся в состоянии , в элементе объема конфигурационного пространства , который охватывает точку

этого пространства с координатами , т.е.

,

где

И в таком случае условие нормировки приобретает ясный вероятностный смысл, а именно, формула

(2.3)

оказывается просто условием достоверности существования системы в конфигурационном пространстве, если она находится в состоянии . Квадрат модуля волновой функции приобретает смысл плотности вероятности. Таким образом, волновые функции должны быть